Comment Calculer L'argument D'un Nombre Complexe

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Module d'united nations nombre complexe [modifier | modifier le wikicode]

Définition [modifier | modifier le wikicode]

Définition

Le module d'united nations nombre complexe ${\displaystyle \left|z\right|}$ est la distance qui sépare l'origine du repère complexe au indicate G d'affixe z.
De plus, pour ${\displaystyle z=x+iy}$ , on a :

${\displaystyle \left|z\correct|={\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}}$

Démonstration

Début d'un principe

Démonstration

L'égalité ${\displaystyle |z|={\sqrt {{10}^{ii}+{y}^{two}}}}$ découle du théorème de Pythagore.

De plus :
${\displaystyle z\times {\bar {z}}=(x+iy)(ten-iy)={ten}^{two}+{y}^{2}}$ , d'où ${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}}$

Fin du principe

Altitude entre deux points [modifier | modifier le wikicode]

Début d'un théorème

Théorème

La altitude entre A et B, respectivement d'affixes ${\displaystyle z_{A}}$ et ${\displaystyle z_{B}}$ , est donnée par : ${\displaystyle AB=\|{\overrightarrow {AB}}\|=\left|z_{B}-z_{A}\correct|={\sqrt {{(x_{B}-x_{A})}^{2}+{(y_{B}-y_{A})}^{ii}}}}$

Fin du théorème

Démonstration

Début d'united nations principe

Démonstration

Soient deux points A et B respectivement d'affixe ${\displaystyle z_{A}=x_{A}+iy_{A}}$ et ${\displaystyle z_{B}=x_{B}+iy_{B}}$ on a :
${\displaystyle AB=\|{\overrightarrow {AB}}\|=\left|z_{B}-z_{A}\right|}$
Or ${\displaystyle z_{B}-z_{A}=(x_{B}-x_{A})+i(y_{B}-y_{A})}$
D'où ${\displaystyle AB={\sqrt {{(x_{B}-x_{A})}^{2}+{(y_{B}-y_{A})}^{2}}}}$

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemples d'utilisation du module : Altitude de deux points

Calculer la distance ${\displaystyle AB}$ où ${\displaystyle z_{A}=5-i}$ et ${\displaystyle z_{B}=3+4i}$ sont les affixes des deux points.
${\displaystyle AB=\left|z_{B}-z_{A}\right|=\left|(3+4i)-(5-i)\right|=\left|-ii+5i\right|={\sqrt {{(-ii)}^{ii}+{5}^{2}}}={\sqrt {4+25}}={\sqrt {29}}}$
La distance AB est donc ${\displaystyle {\sqrt {29}}}$

Fin de l'exemple

Argument d'un nombre complexe non nul [modifier | modifier le wikicode]

Définition

Soit ${\displaystyle z=ten+iy}$ un nombre complexe non nul.

Début de l'exemple

Exemple

Soit z = 32 + 12 i . Trouver 3 arguments de z, donner l'argument master.

Fin de 50'exemple

Écriture trigonométrique [modifier | modifier le wikicode]

Cosinus et sinus [modifier | modifier le wikicode]

Soit ${\displaystyle z=ten+iy}$ united nations nombre complexe non nul, son module ${\displaystyle |z|}$ , d'argument principal ${\displaystyle \theta }$ , et M le bespeak d'affixe z.

On considère le triangle dans le plan complexe, formé par l'origine, Chiliad et son projeté orthogonal sur l'axe des réels.

Les calculs respectivement du cosinus et du sinus d'une mesure de l'angle orienté ${\displaystyle ({\vec {u}},{\overrightarrow {OM}})}$ donnent les deux propriétés suivantes :

Propriétés

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {x}{|z|}}}$  : le cosinus de l'angle est le quotient de la partie réelle et du module.
${\displaystyle \sin(\theta )={\frac {y}{|z|}}}$  : le sinus de l'angle est le quotient de la partie imaginaire et du module.

Forme trigonométrique [modifier | modifier le wikicode]

On sait que : ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {ten}{|z|}}\Leftrightarrow ten=|z|\cos(\theta )}$ et ${\displaystyle \sin(\theta )={\frac {y}{|z|}}\Leftrightarrow y=|z|\sin(\theta )}$ .

Et on a alors : ${\displaystyle z=ten+iy=|z|\cos(\theta )+i|z|\sin(\theta )=|z|(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}$ .

Définition

On appelle la forme trigonométrique d'un nombre complexe z, fifty'écriture : ${\displaystyle z=|z|(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}$ de ce nombre pour n'importe quelle mesure de fifty'angle ${\displaystyle \theta }$ .

Dans cette écriture on retrouve directement le module et un argument (la plupart du temps fifty'argument principal).

Remarque importante : la forme trigonométrique d'un complexe est liée à ses coordonnées polaires ${\displaystyle [r,\theta ]}$ , tandis que la forme algébrique est liée à ses coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (x,y)}$ .

Remarque : on note souvent ${\displaystyle r}$ pour le module de z, la forme trigonométrique se note donc aussi ${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}$ .

Changer d'écriture [modifier | modifier le wikicode]

Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme ${\displaystyle z=x+iy}$ , de module ${\displaystyle |z|}$ et d'argument principal ${\displaystyle \theta }$ .

Les propriétés énoncées lors des calculs du cosinus et du sinus permettent de passer d'une écriture à une autre :

Passer d'une écriture trigonométrique à une écriture algébrique et vice-versa

${\displaystyle {\begin{cases}\cos(\theta )=ten~/~|z|\\\sin(\theta )=y~/~|z|\finish{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x=|z|\cos(\theta )\\y=|z|\sin(\theta )\end{cases}}}$ avec ${\displaystyle |z|={\sqrt {10^{2}+y^{two}}}}$ .

Début de l'exemple

Exemple

La forme trigonométrique de ${\displaystyle z=i-i}$ est :

${\displaystyle z={\sqrt {two}}\left(\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)\correct)}$ .

Il southward'agit donc de trouver united nations facteur commun à x et y, ici ${\displaystyle {\sqrt {two}}}$ , puis d'identifier un angle connu.

Fin de 50'exemple

Égalité de deux nombres complexes [modifier | modifier le wikicode]

Égalité de deux nombres complexes

Soient z et z' deux nombres complexes not nuls.

${\displaystyle z=z'\Leftrightarrow {\begin{cases}|z|=|z'|\\arg(z)=arg(z')[ii\pi ]\cease{cases}}}$

Propriétés du module [modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Les propriétés du module sont les mêmes que celles des normes vectorielles.

• Opérations sur les modules :

• Module de l'opposé, du conjugué :

Propriétés algébriques de l'argument [modifier | modifier le wikicode]

Produit [modifier | modifier le wikicode]

Produit de deux nombres complexes

L'argument du produit de deux nombres complexes est la somme de leurs arguments : ${\displaystyle arg(zz')=arg(z)+arg(z')[ii\pi ]}$ .

Démonstrations

Début d'un principe

Une démonstration géométrique

Fin du principe

Début d'un principe

Démonstration (avec la forme trigonométrique)

Soit ${\displaystyle z_{1}=\rho _{1}\times (\cos {(\theta _{ane})}+i\sin {(\theta _{1})})}$ et ${\displaystyle z_{2}=\rho _{2}\times (\cos {(\theta _{ii})}+i\sin {(\theta _{2})})}$ avec ${\displaystyle (\rho _{1},\rho _{2})\in {\mathbb {R} }^{2},(\theta _{1},\theta _{2})\in {[0;\pi ]}^{2},}$ on prend ${\displaystyle (k_{1},k_{2})=0}$ pour simplifier les calculs.
${\displaystyle {\begin{matrix}z_{iii}&=&z_{1}\times z_{2}&=&\rho _{1}\times (\cos {(\theta _{i})}+i\sin {(\theta _{one})})\times \rho _{2}\times (\cos {(\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{2})})\\&&&=&\rho _{i}\rho _{2}\times [(\cos {(\theta _{one})}\cos {(\theta _{ii})}-\sin {(\theta _{1})}\sin {(\theta _{2})})+i(\sin {(\theta _{one})}\cos {(\theta _{2})}+\cos {(\theta _{one})}\sin {(\theta _{2})})]\\&&&=&\rho _{1}\rho _{2}\times [\cos {(\theta _{1}+\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{1}+\theta _{2})}]\\&=&\rho _{3}[\cos {(\theta _{3})}+i\sin {(\theta _{3})}]\end{matrix}}}$
Nous passons de la deuxième à la troisième ligne en utilisant les formules de trigonométrie ce qui nous donne:

On a donc ${\displaystyle z_{3}=\rho _{3}[\cos {(\theta _{3})}+i\sin {(\theta _{3})}]}$ et nous pouvons faire la même remarque.

Fin du principe

Opposé d'un nombre complexe

L'argument de l'opposé d'un nombre complexe est : ${\displaystyle arg(-z)=\pi +arg(z)[2\pi ]}$ .

Inverse et division [modifier | modifier le wikicode]

Inverse d'united nations nombre complexe

L'argument de l'inverse d'un nombre complexe non nul est 50'opposé de son argument : ${\displaystyle arg\left({\frac {1}{z}}\right)=-arg(z)[ii\pi ]}$ .

Partitioning de deux nombres complexes

D'après les règles de la multiplication et de l'inverse, on a, avec deux nombres complexes z et z' : ${\displaystyle arg\left({\frac {z}{z'}}\right)=arg(z)-arg(z')[2\pi ]}$ cascade ${\displaystyle z'\neq 0}$ .

Puissance [modifier | modifier le wikicode]

Puissance d'united nations nombre complexe

Par extension à la multiplication et à l'inverse, on a 50'argument d'un nombre complexe puissance northward, qui est north fois son argument : ${\displaystyle arg({z}^{northward})=northward\times arg(z)[2\pi ]}$ avec ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ .

Conjugués [modifier | modifier le wikicode]

Conjugué d'united nations nombre complexe

L'argument du conjugué d'un nombre complexe est l'opposé de son l'argument : ${\displaystyle arg({\bar {z}})=-arg(z)[2\pi ]}$ .

Cela due south'explique par le fait que le conjugué d'united nations nombre complexe est le symétrique par rapport à 50'axe des réels du nombre complexe en question.

Produit d'un nombre complexe et de son conjugué

L'argument du produit d'united nations nombre complexe et de son conjugué est : ${\displaystyle arg(z{\bar {z}})=arg(z)+arg({\bar {z}})=arg(z)-arg(z)=0[2\pi ]}$ .

C'est une explication géométrique de pourquoi le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est united nations réel positif.

Calcul de fifty'argument [modifier | modifier le wikicode]

Calcul avec le cosinus et le sinus [modifier | modifier le wikicode]

Connaissant la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe, on peut calculer son ${\displaystyle \cos(\theta )}$ et son ${\displaystyle \sin(\theta )}$ .

Propriétés

Soit ${\displaystyle z=ten+iy}$ un nombre complexe non nul et ${\displaystyle \theta }$ l'argument master que l'on cherche à connaître.

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {x}{|z|}}={\frac {10}{\sqrt {ten^{2}+y^{2}}}}}$
${\displaystyle \sin(\theta )={\frac {y}{|z|}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

Il faut ensuite en déduire un bending ${\displaystyle \theta }$ en « reconnaissant » les valeurs usuelles de cosinus et sinus.

Début de l'exemple

Exemple

Si ${\displaystyle z=i-i}$ alors ${\displaystyle r={\sqrt {2}}}$ .
Donc :
${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {x}{r}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ et ${\displaystyle \sin(\theta )={\frac {y}{r}}=-{\frac {\sqrt {two}}{two}}}$
On reconnait alors : ${\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{4}}}$ .

Fin de 50'exemple

Propriété

Si on ne reconnaît aucun angle particulier, on peut utiliser les fonctions trigonométriques réciproques :

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {x}{|z|}}\correct)=\arcsin \left({\frac {y}{|z|}}\right)}$

Calcul avec la tangente [modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Soit ${\displaystyle z=x+iy}$ .

On a si et seulement si z n'est pas united nations imaginaire pur, c'est-à-dire ${\displaystyle x\neq 0}$  :
${\displaystyle \tan(\theta )={\frac {y}{10}}}$
Ce qui implique que :
${\displaystyle \theta \equiv \arctan \left({\frac {y}{ten}}\correct)\mod \pi }$

50'argument est alors déterminé à ${\displaystyle \pi }$ près, il faut décider entre ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \theta +\pi }$ en utilisant le signe de ${\displaystyle x}$ (généralement, on cherche la mesure principale, c'est celle qui est dans ]- ${\displaystyle \pi ;\pi }$ ] ):

Remarque : Une rapide représentation des complexes ${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle -one}$ , ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle -i}$ sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes.
Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, 50'argument est :

Inférieur ou égal à ${\displaystyle \pi /two}$ cascade les montages du premier ordre (RC ou RL).

Inférieur ou égal à ${\displaystyle \pi }$ pour les montages du second ordre (RLC).

Inférieur ou égal à ${\displaystyle 3\pi /2}$ pour les montages du troisième ordre.

Inférieur ou égal à ${\displaystyle 2\pi }$ pour les montages du quatrième ordre. Il faut donc impérativement tenir compte des modifications des remarques précédentes, en particulier cascade l'étude de la stabilité des systèmes bouclés (se référer aux cours d'automatique).
Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcourt le système.

Argument d'une différence [modifier | modifier le wikicode]

Propriété

• Si A et B sont deux points distincts d'affixes respectives a et b.

alors ${\displaystyle arg(b-a)=({\vec {u}}\ ;{\overrightarrow {AB}})}$

• Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives a, b, c et d :

alors :

${\displaystyle \arg \left({\frac {d-c}{b-a}}\right)=({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {CD}})}$

Comment Calculer L'argument D'un Nombre Complexe,

Source: https://fr.wikiversity.org/wiki/Calcul_avec_les_nombres_complexes/Module_et_argument

Posted by: sieverswoudde89.blogspot.com

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